作者:金湖县实验小学 王正义

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。”推理包括合情推理和演绎推理，在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成。不久前听了一节《两位数乘两位数的练习》公开课，教师在教学过程中设计了适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。

 

一、自主探索，在归纳中合情推理

 

归纳在数学中尤为重要。拉普拉斯说：“在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”学习的过程是一个实践的过程，也是一个自主探索的过程，教师结合教材内容研制、开发、生成出了适合学生认知特点且有利于培养学生推理能力的问题，让学生自主参与、充分参与，积极地动脑、动手、动口，在活动中探索，在探索中归纳。

 

【教学片段一】

 

师  今天的课老师先从画画开始，如果老师画的是轴对称图形的一半，谁能画出另一半？（在黑板上画出轴对称图形的一半，让学生画出另一半。）

 

师  图形中存在这样的对称现象。两位数乘两位数的算式中也存在这样的“对称”现象。（在黑板上分别写出3道算式，让学生说出“对称”的算式。）

 

41×28    （82×14）

 

24×84    （48×42）

 

69×32    （23×96）

 

师  只会写这样几个“对称”算式没什么大不了的，如果能发现这些“对称”算式之间的秘密就了不起了。如果让你们来研究这几组“对称”算式，你会研究什么？会有什么猜想？

 

生  我会研究它们的积是多少。

 

生  我会研究它们相差多少；

 

生  它们之间的积可能相等。

 

师  要想知道你们的猜想是否正确，怎么办呢？

 

师  请同学们估算一下它们的积是多少？（学生用“四舍五入”法估算出结果）

 

师  你们还有没有其他方法估算？先往大里估，再往小里估。

 

师  往小里估它们的结果就怎样了？

 

生  相等。

 

师  能不能光靠估算判断它们的结果是否相等？那还等什么，快用草稿笔算出结果。

 

师  通过刚才的计算，你们发现了什么？

 

师生交流得出结论：两位数乘两位数中，两个“对称”算式的积相等。

 

波利亚说：“所有聪明才智的获得，往往是通过猜想游戏。当面临新情况时，我们就从某个猜想开始。”教师从图形的对称到算式的对称，步步推进，学生自觉地产生猜想，继而通过估算、计算验证猜想。学生积极主动地探索和交流自己的判断，潜移默化地培养了合情推理能力。

 

二、大胆质疑，于疑虑间辩驳推理

 

亚里士多德说：“思维从疑问和惊奇开始。”合情推理是从已有的事实出发，凭借经验与直觉，通过归纳和类比等推断出某些结果，是“合乎情理”的推理，能帮助我们猜测和发现结论，但未必可靠。

 

【教学片段二】

 

师  同学们对这个结论有没有不同意见？同意的请坐正，不同意的请举手。

 

师  再举个例子：36×42     24×63

 

师  对于这个结论你们深信不疑吧？

 

生  是。

 

师  接下来老师给大家讲一个故事：有一个主人买了一只公鸡，他第1天给公鸡喂了一把米，第2天给公鸡喂了一把米，第3天也给公鸡喂了一把米，就这样，到第99天还给公鸡喂了一把米，第100天公鸡想也应喂一把米，究竟怎样呢？

 

生  会喂一把米。

 

生  会把它杀了。

 

师  到了第100天主人家里来了客人，就把公鸡给杀了，成了桌上的美味佳肴。公鸡99天得出的结论是错误的，那么我们举了4个例子就能证明是对的吗？

 

有的学生开始动摇，试着举例子，然后把正确的归为一类，错误的归为一类。

 

师  只要找到一个错例就能推翻刚才的结论。

 

教师通过故事引导学生认识数学现象与它所反映的客观本质，用错例辩驳推理，培养了学生大胆探究、勇于质疑的精神，使逻辑思维能力的培养与辩证思维的启蒙教育和谐统一。

 

三、比较综合，恰探究处完善推理

 

演绎推理是由一般到特殊的思维方法，是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理。合情推理与演绎推理相辅相成、相互渗透，教师在教学时应善于多问几个“为什么”，让学生在思辨中综合、在探究处完善，养成“言而有据”的习惯，不断提高学生的推理能力。

 

【教学片段三】

 

师  为什么老师写的算式都是相等的，而你们写的却有不相等的呢？难道里面还藏着什么秘密吗？引导学生观察老师写的算式。

 

师  发现秘密的同学请举手。

 

生  十位上相乘的积和个位上相乘的积相等。

 

师  要想把这个结论完善一下，怎样修改？

 

讨论得出：十位乘积等于个位乘积的两位数乘两位数中，两个“对称”算式的积相等。

 

师  对于这个结论你们相信吗？深信不疑的请坐坐正，如果有一点怀疑的请举手。

 

有的相信，有的半信半疑。

 

师  这时候该干什么？应该举什么样的例子呢？

 

学生举例验证自己的观点。

 

师  课上到这里，这个结论是正确的还是错误的已经不再重要，重要的是我们的思维方法是否正确。我想同学们不仅这个结论感到好奇，可能还会想两位数乘法中存在着这样的“对称现象”，三位数、四位数呢？加法呢？请同学们带着疑问走出今天的课堂。

 

学生通过计算“沾沾自喜”地发现规律，接着“半信半疑”地验证，到“恍然大悟”时的比较和再次举例验证，在探索计算规律的过程中不断地肯定与否定，思维激荡。如此，学生的思维能力可以得到培养，推理能力能够得到训练。